Inscriptions à la médiathèque

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes début janvier \(2013\) et a enregistré \(2\,500\)  inscriptions pour l’année \(2013\) .
Elle estime que, chaque année, \(80\)  % des anciens inscrits renouvellent leur inscription l’année suivante et qu’il y aura également \(400\)  nouveaux adhérents.
Pour tout entier naturel \(n\) , on peut donc modéliser le nombre d’inscrits à la médiathèque \(n\)  années après \(2013\) par une suite numérique \((a_n)\)  définie par  \(a_0=2\, 500\)  et  \(a_{n+1}=0,8a_n + 400\) .

1. Calculer \(a_1\)  et \(a_2\) .

2. On pose, pour tout entier naturel \(n\) , \(v_n=a_n-2\,000\) .
    a. Démontrer que \(\left(v_n\right)\)  est une suite géométrique de raison \(0,8\) . Préciser son premier terme.
    b. Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) , \(v_n\)  en fonction de \(n\) .
    c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) , \(a_n=500\times 0,8^n + 2\,000\) .
    d. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\)  tel que \(a_n\leqslant 2\,010\) . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.